抽象代数小测验的一次冒险

答:乘法交换律

环包括加法的所有常见性质(闭包、交换、结合律、恒等和逆)以及分配律、乘法下的闭包和结合律乘法。闭包意味着在执行操作时不能移出集合。例如，整数在除法时不闭合，因为3除以19不是整数。特殊环可以包括交换乘(交换环)、恒等(带恒等的环)和逆(除环)的组合。如果一个环具有所有这些特性，它就被称为场。

在学习算术时，这些规则形成了一个自然的过程。我们学习了自然数的加法和乘法，但自然数是非常有限的(你不会遇到3-8这样的问题)。然后我们继续到整数，它是由自然数，零和它们的倒数组成的环。这个新系统让我们做的更多，但我们在除法上仍然有一个问题。用长除法-17除以2等于多少?是-9r+1还是-8r-1?我们需要有乘法逆，所以我们取整数，创造出有理数域，通常被称为分数。现在你知道为什么五年级以后的数学如此依赖分数了吧。

答:125

一个组是一组元素(其中一个是恒等)，其中的运算是封闭的和结合的，并且每个元素在集合中都有一个逆。阿贝尔群的运算是可交换的，所以每个环都是加法下的阿贝尔群。矩阵在乘法下形成群，但不是阿贝尔群，因为矩阵乘法是不可交换的。

“顺序”是用一种花哨的数学方法来表示元素的数量。数量级为素数的群总是阿贝尔的(事实上，它是一个循环群)。如果阶数是质数的平方，它也是阿贝尔式的——但这种模式不能扩展到质数的立方。一个非常古老(而且很糟糕)的笑话是:什么是紫色和通勤?一种阿贝尔葡萄。我警告过你这很糟糕!

答:S3

S3是3个元素的对称组(每个组合)。D6是六边形的二面体群(旋转和翻转)。C3 xc3是由0 1 2组成的有序对。A6是由(123456)开始，通过偶数次换位(交换两个相邻的数字)来创建S6的元素，从而形成交替6组。

对称群非常重要，因为代数中的一个重要定理指出，每个群都是某个对称群的子群。它们在建立伽罗瓦理论的一个重要结果时也很重要，但我会把它留到第10题。

答:8

根据拉格朗日定理，子群的阶数必须除以群的阶数。因为8不能整除150，所以在一个150阶的群中没有8阶的子群。每个基团都有一个阶为1的子基团(单位元素)。

抽象代数的一个重要结果是，如果p^n (p ')除以一个群的阶，则保证至少有一个p^n阶的子群。所以一个500 (2^2 x 5^3)阶的基团每个阶至少有一个子基团2,4,5,25和125。

答:复数

扩展字段是通过在字段中添加一个或多个元素并使用问题1中讨论的属性创建一个新字段来实现的。复数从实数域和-1 (i)的平方根开始。由于域必须在乘法下封闭，我们必须在域中包含2i, 3i， (4/91)i等。逆也必须包括在内，包括加法(-i， -2i， -3i…)和乘法(i/2, i/7, i/(-193/16)，等等)和加法封闭(1+9i， -4+6i, 2-17i)。对所有新元素重复此过程。最终，这导致了复数的定义:所有形式为a +Bi的数字的集合，其中a和B是实数。因此，复数是实数的一个扩展域。

这个问题/答案用一种奇特的方式说，每个实系数多项式的每一个根都是复数。代数基本定理保证了这些根的存在。此外，根的个数等于多项式的次数(即X的最大次)。有趣的是，复数是一个代数封闭场，这意味着一个具有复系数的多项式的所有根都在复场中。这就是为什么我们在高中不学习复数。它们在探索多项式时形成了一种死胡同。

答:积分域

一个不属于整域的环的例子是以6为模的整数(数除以6时的余数)，缩写为Z[6]。这不是一个积分域，因为2x3=6等于0 (mod 6)，但2和3都不是0 (mod 6)。p是质数的环Z[p]总是一个积分域，因为质数的唯一因子是1和它自己。

根据这个逻辑，你应该很容易证明，如果c是合数，Z[c]绝对不是一个积分域。

答:偶数

理想是通过乘法“吸收”环元素的子带。偶数是偶数(即当它们单独存在时具有环的所有属性)，而偶数乘以任意整数得到偶数，因此偶数是理想数。奇数、正数或负数就不能这样说了。这些集合都不是子带，因为奇数在加法下没有闭合(奇数+奇数=偶数)，正数没有正的加法逆(例如，没有正数可以加到8上得到0)，负数没有负的加法逆(例如，没有负数可以加到19上得到0)。

数学家库梅尔认为理想可以用来解决费马大定理(FLT)，他确实在这个问题上取得了一些重大进展。最终，这一思想并没有解决外语教学问题，但理想的实用性仍然存在。

答:6

注意:√表示“的平方根”。CBRT的意思是“的立方根”。

分裂域是一个扩展域它包含了多项式的所有根。例如，多项式5X+1有一个有理数作为根，因此分裂字段是有理数字段(缩写为Q)。对于X^2-2，根是+/-√(2)，因此我们需要取有理数并生成一个包含√(2)的扩展字段by。这意味着分割字段是Q[√(2)]。

次就是一个多项式的次这个多项式的根是场中的一个元素。例如，Q(cbrt(3)) / Q的次数是多少?以cbrt(2)为根的有理系数次次最小的多项式为X^3-2。这个多项式的次数是3，所以Q(cbrt(3))除以Q(写为[Q(cbrt(3)):Q]的次数是3。

分裂场包含X^3 - 2的所有三个根，特别是cbrt(2)， w[cbrt(2)]和w^2[cbrt(2)]，其中w =[-√(3)]/2 + (1/2)i。我们注意到Q(cbrt(2)， w)作为扩展字段包含所有3根。如上所述，E=Q[cbrt(2)]是3次/ Q，但cbrt(2)是实数，不能解释所需的复数。系数为Q[cbrt(2)]，根为w的最小多项式是X^2 + X + 1，所以F=E(w)是2次/ E。综合起来，[Q(cbrt(2))，w:Q] = [Q(cbrt(2))，w:Q(cbrt(2))] X [Q(cbrt(2)):Q] = 2 x3 = 6。

答:C2 x C2

伽罗瓦组是扩展字段中的一个字段的自同构组。例如，取实数(R)和复数的扩展域(C)。将每个复数映射到它的共轭(即改变虚数部分的符号)，例如2+8i变成2-8i。请注意，实数没有变化，因为没有虚数部分(-5.6映射到-5.6)，所以这个映射将是复数域中实数的自同构。埃瓦里斯特·伽罗瓦认识到这个群的结构可以回答许多(以前)未解决的数学问题，这是他的功劳。

诀窍在于说明Q[√(2)+√(3)]= Q[√(2)，√(3)]。显然Q[√(2)，√(3)]具有√(2)+√(3)作为元素，因此Q[√(2)+√(3)]是Q[√(2)，√(3)]的子字段。反过来，[√(2)+√(3)]^3 = 11[√(2)]+ 9[√(3)]。减去9[√(2)+√(3)]所以2[√(2)](因此√(2))是Q[√(2)+√(3)]的一个元素，因此√(3)也是。因此Q[sqrt(2)， sqrt(3)]是Q[sqrt(2) + sqrt(3)]的子字段。通过双包含，字段是相同的。

唷!现在是简单的部分。通过伽罗瓦理论中的其他定理，我们可以建立在这个问题中，√(2)映射到+/-√(2)和√(3)映射到+/-√(3)。这意味着伽罗瓦群是C2xC2。

答:可以解决的。

从一个群G开始，找到一个子群G1，使得辅集G/G1(大致相当于任何环的除法)是阿贝尔的。现在找到一个叫做G2的G1子群，使得G1/G2是阿贝尔的。继续下去，如果你最终能得到单位元e，这个群是可解的。这就是为什么一般的五次(五次)多项式是不可解的-群S5是不可解的。