波莉小姐的(错误)冒险测验

这是一个关于多项式及其性质的小测验。享受吧!

多项选择题测验通过Mrs_Seizmagraff．预计时间:7分钟。

作者
Mrs_Seizmagraff

时间
7分钟

类型
多项选择

测试#
183640年

更新
12月03日21

# qn
15

困难
艰难的

Avg的分数
9 / 15

戏剧
3573

奖
编辑器的选择

最后3场比赛嘉宾49 (5/15)， 1nn1 (13/15)，辛先生(0/15）.

这个测试有两种格式:你可以把它作为一个或如下图所示。
向下滚动到底部找到答案。

1.Polly Nomial小姐决定用她最喜欢的多项式函数的图形来建造一个水滑梯。她问总建筑师这是不是个好主意，他怎么说? 提示

是的，所有多项式函数都是连续的

是的，图中的渐近线可以让你在水中玩得很开心

不行——水滑梯骑手可能会从图表的某个裂缝中掉下去

不，多项式函数是平的，所以附加部分无处可去

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2.波莉最喜欢做的事情之一是在公园里滑滑梯;她喜欢它是因为它有常数(非零)斜率。幻灯片上是什么样的多项式函数?

提示

常数函数

三次函数

二次函数

线性函数

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3.波莉的表妹康妮·科尼克过来拜访。她带来了她最喜欢的一段圆锥曲线。事实证明，波莉在她的多项式函数集合中有相同的形状!这是什么二次曲线? 提示

双曲线

抛物线

圆

椭圆

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4.波莉最喜欢的歌是托尼·拜勒的《坚持到零分》。在多项式领域，零非常重要。其中一个波利多项式函数的阶是5。她的函数最多可以有多少个零? 提示

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5.波莉的妹妹Mono Nomial有4级宠物功能。她的函数能有的最小实零个数是多少? 提示

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6.如果你听“hold out for a Zero”的歌词，Tonnie会告诉你如何确定一个给定的数字(比如“a”)是否是一个给定多项式函数(比如“p(x)”)的零。托尼会告诉你什么? 提示

如果p(0) = a，则a是p(x)的0

如果p(0) = -a，那么"a"是p(x)的零

如果p(-a) = 0，那么如果p(x) "a"是0

如果p(a) = 0，那么a是p(x)的0

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7.有时候，波莉只关心求某个函数的有理根。她现在有一个这样的函数，都是积分系数，形式是y = ax^n+bx^(n-1)+…c不为零。下列哪个选项不可能是这个函数的有理根? 提示

－1

c(常数项)的任意因子

1/m形式的分数，其中m是A的除数(前导系数)

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8.在下雨的周日下午，波莉会花时间分解多项式。她正在研究一个这样的多项式，p(x)利用有理根定理，她确定了p(-2/3) = 0。根据因式定理，下列哪个是p(x)的因式? 提示

3x - 2

2x - 3

2x + 3

3x + 2

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9.波莉在微积分课上是第一名。她知道如果一个多项式函数有一个常数二阶导数，并且二阶导数是正的，那么这个函数的图像总是: 提示

减少

凹下的

上凹的

增加

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10.Polly有一个大于2次的多项式函数p(x)，她知道存在一个数字“c”，使得p'(c)=0(函数在c =0处的一阶导数)，但p(c)不为零。关于p(x)的图像，波莉确定知道什么? 提示

这个函数有复根

在x=c处，曲线有一个拐点

在x=c处，图有一个最小值或最大值

这个函数没有实根

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11.波莉和她最好的两个朋友马克斯和闵在一起跳绳。她注意到跳绳的形状像一个多项式函数，马克斯(在一端)在点“a”，Min(握着绳子的另一端)在点“b”。最大值和最小值将绳子保持在相同的高度，所以如果绳子是函数p(x)也就是说p(a)=p(b)“我在滚!”波莉尖叫起来。对于区间(a,b)中的p(x)我们能说些什么? 提示

在(a,b)中存在一些c, p(c)=p(a)=p(b) (c不等于a或b)

在(a,b)中存在一个c, p'(c)=0

p(x)在(a,b)上递增

p(x)的图形在(a,b)上向下凹

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12.波莉知道有很多不同的定理告诉我们关于多项式函数的很多美妙的东西。一个这样的定理说，在区间(a,b)上，总有某个数字“c”使得p'(c) = p(b)-p(a)/b-a。波莉喜欢这个定理的结果，尽管这个定理可能“令人讨厌”。这是哪个定理? 提示

罗尔定理

中值定理

微积分基本定理

中间值定理

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13.Polly喜欢解p(x)=0这样的多项式方程。对于二次方程，她通过补全平方来求解。对于三次和四次方程(分别为3次和4次)，她尝试了其他方法——如果这些方法失败了，她总是可以依靠某些公式为她找到根。她能用公式求出五次多项式的根吗? 提示

是的，这个公式是在19世纪发现的，可以手工计算

不——不可能构造这样一个公式

不，尽管公式存在，但波莉需要博士学位才能理解它

是的，这个公式非常复杂，需要一个计算机程序来确定根

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14.波莉在睡前吃太多墨西哥菜后，有时会做噩梦。她最可怕的事情之一是这样的:她带着她最喜欢的多项式函数(n次)出去散步，她遇到了一个大而坏的微分算子，他威胁要对她最喜欢的函数求导，直到它为0。算子要对波利的函数微分多少次才能使函数为0? 提示

n - 1

n + 1

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15.波莉热爱她的生活;多项式函数的世界是一个快乐的地方，所有的孩子都可以在这里玩耍，无论他们是什么肤色或宗教。这是黎曼国王颁布的法令。不幸的是，并不是所有函数族都是这样的。我指的是哪个函数运算? 提示

分化

反演

作文

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测验答案关键和有趣的事实

1.Polly Nomial小姐决定用她最喜欢的多项式函数的图形来建造一个水滑梯。她问总建筑师这是不是个好主意，他怎么说?

答:是的，所有多项式函数都是连续的

所有的多项式函数都是连续的，没有裂缝或渐近线，所以骑手不会有危险。虽然常数函数(p(x) = c)确实是平坦的，也是多项式的，但三次函数也是多项式的，所以在三次函数上没有地方可去当然没有危险!

2.波莉最喜欢做的事情之一是在公园里滑滑梯;她喜欢它是因为它有常数(非零)斜率。幻灯片上是什么样的多项式函数?

答:线性函数

我希望“常数”这个词没有骗你选择“常函数”。只有线性函数的斜率是常数。(从技术上讲，常数函数也有常数斜率-零斜率。但是我规定波莉的滑梯斜率非零。零坡度的滑梯不是很无聊吗?)

3.波莉的表妹康妮·科尼克过来拜访。她带来了她最喜欢的一段圆锥曲线。事实证明，波莉在她的多项式函数集合中有相同的形状!这是什么二次曲线?

答:抛物线

唯一的二次曲线也是多项式函数(或者可以是)是抛物线，y=x^2。双曲线也可以是一个函数(比如当方程是y = 1/x时)。圆和椭圆不能是函数。

4.波莉最喜欢的歌是托尼·拜勒的《坚持到零分》。在多项式领域，零非常重要。其中一个波利多项式函数的阶是5。她的函数最多可以有多少个零?

答:5

根据代数基本定理，n次多项式最多可以有n个不同的零。

5.波莉的妹妹Mono Nomial有4级宠物功能。她的函数能有的最小实零个数是多少?

答:0

甚至函数(2次，4次，6次，8次，…)都不需要有任何实零。例如，函数y=x^4 + 7没有任何实数零。这意味着函数的图形永远不会穿过x轴。然而，奇数函数(1,3,5，…)必须至少有一个实根。

6.如果你听“hold out for a Zero”的歌词，Tonnie会告诉你如何确定一个给定的数字(比如“a”)是否是一个给定多项式函数(比如“p(x)”)的零。托尼会告诉你什么?

答:如果p(a) = 0，那么a是p(x)的0

这只适用于实零，是余数定理的一个结果。余数定理说，当一个多项式被(x-a)除时，余数是p(a)。如果p(a)=0，这意味着(x-a)将p(x)平分(因式定理)，且a为零。

7.有时候，波莉只关心求某个函数的有理根。她现在有一个这样的函数，都是积分系数，形式是y = ax^n+bx^(n-1)+…c不为零。下列哪个选项不可能是这个函数的有理根?

答:0

积分多项式的有理根定理说，任何可能的有理根都是m/n的形式，其中m除常数项，n除前项。因为1和-1都能整除，这意味着-1和1/m可能是根。0不可能是根因为p(0) = c c不为0。

8.在下雨的周日下午，波莉会花时间分解多项式。她正在研究一个这样的多项式，p(x)利用有理根定理，她确定了p(-2/3) = 0。根据因式定理，下列哪个是p(x)的因式?

答:3x + 2

因式定理说，如果P(a) = 0，那么(x-a)是P(x)的因式。已知p(-2/3)=0，这意味着x-(-2/3)是一个因子，或者等价地(x + 2/3)是一个因子;或者等价地(3x+2)是一个因子。

9.波莉在微积分课上是第一名。她知道如果一个多项式函数有一个常数二阶导数，并且二阶导数是正的，那么这个函数的图像总是:

答:上凹的

考虑二次方程y=x^2的图像。正二阶导数(通过二阶导数检验)意味着图形总是向上凹的。注意，图形可以是递增的，也可以是递减的，而且仍然是向上凹的。

10.Polly有一个大于2次的多项式函数p(x)，她知道存在一个数字“c”，使得p'(c)=0(函数在c =0处的一阶导数)，但p(c)不为零。关于p(x)的图像，波莉确定知道什么?

答:这个函数有复根

上面描述的情况对应于图中的“打嗝”，并表明存在复根。在x=c点可能有一个最小值或最大值，但我们不确定。考虑y = x ^ 3 + 1。在x=0处，导数为0，但这里既没有最小值也没有最大值。

拐点也是如此。关于这个多项式我们只知道它有复根。

答:在(a,b)中存在一个c, p'(c)=0

最大的暗示是“罗尔”——就像“罗尔定理”。罗尔定理指出，如果一个函数在区间(a,b)上连续且可微(我们知道所有多项式函数都是)，且p(a)=p(b)，那么在该区间内存在某个p'(c)=0的“c”。从图形上看，这意味着函数在该区间内达到临界点(要么是最小值，要么是最大值，要么是拐点)(要么是常数)。

12.波莉知道有很多不同的定理告诉我们关于多项式函数的很多美妙的东西。一个这样的定理说，在区间(a,b)上，总有某个数字“c”使得p'(c) = p(b)-p(a)/b-a。波莉喜欢这个定理的结果，尽管这个定理可能“令人讨厌”。这是哪个定理?

答:中值定理

多么广泛的暗示!这个定理是“讨厌的”——也就是说，它是“卑鄙的”!中值定理实际上被认为是数学中最重要的定理之一，可以用来证明许多其他奇妙的结果，如泰勒定理。罗尔定理和中间值定理是中值定理的特殊情况。

13.Polly喜欢解p(x)=0这样的多项式方程。对于二次方程，她通过补全平方来求解。对于三次和四次方程(分别为3次和4次)，她尝试了其他方法——如果这些方法失败了，她总是可以依靠某些公式为她找到根。她能用公式求出五次多项式的根吗?

答:不——不可能构造这样一个公式

虽然2次、3次和4次多项式的通解确实存在公式，但阿贝尔在19世纪证明了5次或更高次方程的通解不存在这样的公式。这让波莉非常沮丧，她非常不喜欢亚伯。

14.波莉在睡前吃太多墨西哥菜后，有时会做噩梦。她最可怕的事情之一是这样的:她带着她最喜欢的多项式函数(n次)出去散步，她遇到了一个大而坏的微分算子，他威胁要对她最喜欢的函数求导，直到它为0。算子要对波利的函数微分多少次才能使函数为0?

答:n + 1

微分运算将多项式函数的次降低1。从一个n阶函数开始，在n阶导数之后，函数将是常数(即0阶)。在n+1阶导数之后，函数将是0(因为任何常数的导数都是0)。

15.波莉热爱她的生活;多项式函数的世界是一个快乐的地方，所有的孩子都可以在这里玩耍，无论他们是什么肤色或宗教。这是黎曼国王颁布的法令。不幸的是，并不是所有函数族都是这样的。我指的是哪个函数运算?

答:集成

虽然其他三个肯定适用于多项式函数，但这里的正确答案是积分。根据黎曼的定义，所有的多项式函数都是可积的。有些函数类不容易集成;这导致了20世纪测量理论和勒贝格积分的发展。

资料来源:作者Mrs_Seizmagraff

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